傅里叶系数

1. 做题经验:

1. 计算傅里叶系数时用的积分方法:

child::高数上四 分部积分法

2. 傅里叶系数梗概:

对三角级数中的 $a_n$ (包括$a_0$) 与 $b_n$, 都取特殊值 这些特殊的 $a_n$ 与 $b_n$ 称为傅里叶系数

3. 傅里叶系数值的确定/计算:

傅里叶系数需要依托于f (x)

对周期为2l的f(x), 其对应的傅里叶系数为:

1. $a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi }{l}xdx,n=0,1,2,...$
2. $b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi }{l}xdx,n=1,2,...$

1. 助记:

求谁的系数, 就用谁乘f (x), 都是在[-l,l]这个周期上积分, 且都要除去半周期l

4. 傅里叶系数的性质:

1. 系数与f (x) 奇偶性的联系:

1.1. 直观理解:

1. 奇函数展成正弦级数, 因为正弦也是奇函数
2. 偶函数展成余弦函数, 因为余弦也是偶函数
3. 且计算另一个系数时积分是对称的, 即只用算[0, l]的积分就行了

1.2. 详细:

4.1.2.1. 当f (x) 为奇函数时:

1. $a_n=0$
2. $b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)sin\frac{n\pi }{l}xdx$

4.1.2.2. 当f (x) 为偶函数时:

1. $a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)cos\frac{n\pi }{l}xdx$
2. $b_n=0$